Question

Wie berechne ich den hinteren Teil der Formel des Trägheitstensors?

Erste Frage Aufrufe: 573 Aktiv: 16.05.2021 um 00:28

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Zwei Massen besitzen einen Abstand von 1m zum Ursprung. Die Verbindungsachsen zwischen Ursprung und Massenpunkt schließen mit der z-Achse jeweils einen Winkel von 30◦ ein. Beide Massepunkte sind gleich schwer, m1 = m2 = m.
Die Matrixelemente des Trägheitstensors eines Systems zweier Punktmassen sind gegeben durch:

I_{i, j} = 2 \sum n = 1 m_{n} [(x_{n})^{2} δ_{i j} - x_{n, i} x_{n, j}]

Dann wären auch noch ein paar Polarkoordinaten gegeben, wobei ich bezweifle, dass man sie für die folgende Teilaufgabe benötigt.

Bestimmen Sie die zwei Matrizen

x_{n, i} x_{n, j}

für n=1,2.

Wären das dann nicht einfach die zwei Ortsvektoren der Massepunkte?

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gefragt 15.05.2021 um 10:37

koala18
Punkte: 10

Hier die vollständige Aufgabe:
Gegeben sei ein System aus zwei Massepunkten mit Massen m_n an den Punkten r_n (n = 1, 2),
die um die z-Achse mit derselben in mathematisch positiver Richtung in der x − y-Ebene definierten Winkelgeschwindigkeit ω = (0, 0, ω)
rotieren.
Die Matrixelemente des Trägheitstensors eines Systems zweier Punktmassen
sind gegeben durch
$$I_{i,j}=\sum \limits_{n=1}^{2}m_{n}[(x_{n})^{2}\delta_{ij} -x_{n,i}x_{n,j}]$$

wobei r_n,i die i-te Komponente des Vektors rn ist. Zwei Massen besitzen einen Abstand von 1m zum Ursprung. Die Verbindungsachsen zwischen Ursprung und Massenpunkt schließen mit der z-Achse jeweils
einen Winkel von 30◦
ein. Beide Massepunkte sind gleich schwer, m1 = m2 = m. Die Polarwinkel θ_n werden in Kugelkoordinaten von der positiven z-Achse, die Azimutalwinkel φ_n von der
positiven x-Achse aus im mathematisch positiven Sinne abgetragen. Die Winkel lauten damit
θ_1 = 30◦ ,
θ_2 = 150◦ ,
φ_1 = ωt, φ_2 = π + ωt.

Bestimmen Sie die zwei Matrizen $$ x_{n,i}x_{n,j}$$
für n=1,2.

Ich habe bereits versucht es so zu machen wie du gesagt hast:
$$\begin{pmatrix} x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{1,3} \end{pmatrix}=x_{1},\begin{pmatrix} x_{2,1}\\x_{2,2}\\x_{2,3} \end{pmatrix}=x_{2}$$ und habe dann gedacht, dass das die zwei Ortsvektoren sind, aber ich bin mir da unsicher ob ich das richtig gemacht habe oder ob man da nicht noch mehr machen muss?

Hier die vollständige Aufgabe: 
Gegeben sei ein System aus zwei Massepunkten mit Massen m_n an den Punkten r_n (n = 1, 2),
die um die z-Achse mit derselben in mathematisch positiver Richtung in der x − y-Ebene definierten Winkelgeschwindigkeit ω = (0, 0, ω)
rotieren.
 Die Matrixelemente des Trägheitstensors eines Systems zweier Punktmassen
sind gegeben durch
$$I_{i,j}=\sum \limits_{n=1}^{2}m_{n}[(x_{n})^{2}\delta_{ij} -x_{n,i}x_{n,j}]$$

wobei r_n,i die i-te Komponente des Vektors rn ist. Zwei Massen besitzen einen Abstand von 1m zum Ursprung. Die Verbindungsachsen zwischen Ursprung und Massenpunkt schließen mit der z-Achse jeweils
einen Winkel von 30◦
ein. Beide Massepunkte sind gleich schwer, m1 = m2 = m. Die Polarwinkel θ_n werden in Kugelkoordinaten von der positiven z-Achse, die Azimutalwinkel φ_n von der
positiven x-Achse aus im mathematisch positiven Sinne abgetragen. Die Winkel lauten damit
θ_1 = 30◦ ,
θ_2 = 150◦ ,
φ_1 = ωt, φ_2 = π + ωt.

Bestimmen Sie die zwei Matrizen $$ x_{n,i}x_{n,j}$$ 
für n=1,2.

Ich habe bereits versucht es so zu machen wie du gesagt hast:
$$\begin{pmatrix} x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{1,3} \end{pmatrix}=x_{1},\begin{pmatrix} x_{2,1}\\x_{2,2}\\x_{2,3} \end{pmatrix}=x_{2}$$ und habe dann gedacht, dass das die zwei Ortsvektoren sind, aber ich bin mir da unsicher ob ich das richtig gemacht habe oder ob man da nicht noch mehr machen muss?

─ koala18 15.05.2021 um 18:40

Das sind schon die richtigen zwei Ortsvektoren. Der Aufgabe nach benötigst du diese aber in Kugelkoordinaten. Die sollten dir eigtl. bekannt sein. Kannst auch die Winkel direkt einsetzen, dann vereinfacht sich das ganze erheblich. Jetzt bin ich nur bisschen verwirrt, was du genau bestimmen sollst, da deine Formatierung oben etwas durcheinander gekommen ist. Soll es wirklich $x_{n,i}x_{n,j}x_{n,i}x_{n,j}$ sein? Wenn ja, woher kommt das? In deiner Gleichung für den Trägheitstensor steht nur die erste Hälfte davon. ─ gardylulz 15.05.2021 um 20:34

Nein, nur $$ x_{n,i}x_{n,j}$$
für n=1,2. Das war nur ein Formatierungsfehler, wie du dir schon gedacht hast. Das seltsame ist, dass in der Teilaufgabe a) vorher schon gefordert war, dass man die Ortsvektoren in Kugelkoordinaten bestimmt. In der nächsten Aufgabe c) soll man dann den Trägheitstensor ermitteln. Da dachte ich mir, ob es vielleicht von Vorteil wäre, die Matrizen bei der b) zu versuchen in kartesische Koordinaten auszudrücken, da man Tägheitstensoren eher mit kartesischen Koordinaten und nicht mit Kugelkoordinaten berechnet oder?
─ koala18 16.05.2021 um 00:28

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1 Antwort

gardylulz · Answer 1 · 2021-05-15T17:40:42Z

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Finde die Frage etwas seltsam formuliert. Vielleicht einfach mal die ganze Aufgabe hier hochladen, damit man das ganze Bild hat.

Bei deinem Term $ x_{n,i}x_{n,j} $ stellen die Indizes $i,j$ die Komponente dar, also z.B. x,y,z und $n$ steht für Teilchen 1 oder 2. Also $x_{n,i} $ steht für die Komponente $i $ des Teilchen n dar. Wenn man bisschen Ahnung von Tensoralgebra hat, dann kennt man das auch unter dem Ausdruck Dyadisches Produkt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Dyadisches_Produkt#Definition

Das einfachste wäre es einfach die Komponenten einzeln aufzuschreiben und es dann als Matrix anzuordnen.

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geantwortet 15.05.2021 um 17:40

gardylulz
Student, Punkte: 1.11K

Das habe ich nun gemacht ─ koala18 15.05.2021 um 18:42

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