Sollen es Polarkoordinaten oder Kugelkoordinaten sein? Du verwendest nämlich Kugelkoordinaten. (Ich frag, weil man je nach Hintergrund es tatsächlich in 2d ausführen kann. Das ist dann aber nicht mehr einfach nur ein He+ Ion.)
Falls Kugelkoordinaten: Erste Zeile falsch. Die Wellenfunktion hier ist komplex konjugiert die gleiche, da kein Imaginärteil vorhanden ist. In der nächsten Zeile hast du es wiederum richtig stehen. Aber in der Klausur gäbe es ab hier bereits keine Punkte mehr. Außerdem schlampige Notation. Integral über \( \tau\), Funktion hat aber keine \( \tau\) Abhängigkeit. Dritte Zeile \( d\Phi\) fehlt. Nach den Integralen fehlt die Potenz bei \( a_0\). Wo ist die hin? Ergebnis kannst du selbst überprüfen, indem du mit der bestimmten Normierungskonstante das Integral nochmal ausführst. Das Ergebnis sollte nach dem Kürzen und Verrechnen 1 sein. Alternativ kannst du das Ergebnis auch im Demtröder 3 oder so nachschauen. (Auch wenn ich das Buch nicht mag)